รากที่สอง
เราเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาแล้ว เมื่อความยาวแต่ละด้านของด้านประกอบมุมฉากเป็น 1 หน่วย อาจหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้ดังนี้
X2 = 12 + 12
X2 = 2
เราใช้ แทนจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ 2
ดังนั้น x =
เรียก ว่ารากที่สองที่เป็นบวกของ 2
บทนิยาม ให้ a แทนจำนวนจริงบวกใดๆ หรือศูนย์ รากที่สองของ a คือจำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้ว
ได้ a
สำหรับรากที่สองของจำนวนจริงลบจะไม่กล่าวถึง เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนจริงลบ
ตัวอย่าง 7 เป็นรากที่สองของ 49 เนื่องจาก 72 = 49
-7 เป็นรากที่สองของ 49 เนื่องจาก (-7)2 = 49
ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือ รากที่สองที่เป็นบวกซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ –
ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0
จากบทนิยามจะได้ ( )2 = a และ (- )2 = a
รากที่สองที่เป็นบวกของ a อาจเรียกอีกอย่างว่า กรณฑ์ที่สองของ a
เราจะเห็นได้ว่า รากที่สองของจำนวนตรรกยะบวก เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ
สำหรับจำนวนตรรกยะบวกอื่นๆที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม จะพิจารณาดังนี้
ถ้าสามารถหาจำนวนตรรกยะที่ยกกำลังสอง แล้วเท่ากับจำนวนตรรกยะบวกที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ถ้าไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะที่ยกกำลังสอง แล้วเท่ากับจำนวนตรรกยะบวกที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
โดยทั่วไป ถ้ารากที่สองของจำนวนจริงบวกเป็นจำนวนตรรกยะ เราจะไม่นิยมเขียนรากที่สองนั้นโดยใช้เครื่องหมาย ? เช่นจะนิยมใช้จำนวนตรรกยะ 8 และ -8 แทนรากที่สองของ 64
การหารากที่สอง
การหารากที่สองของจำนวนจริงทำได้หลายวิธี อาจใช้การแยกตัวประกอบ การประมาณ การเปิดตาราง และการใช้เครื่องคำนวณ ดังต่อไปนี้
การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ
การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบเป็นสิ่งที่ทำได้ง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหารากที่สองของจำนวนเต็มบวกที่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหารากที่สองของ 400
วิธีทำ เนื่องจาก 400 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5
= (2 x 2 x 5)2
= 202
และ 400 = (-20)2
ดังนั้น รากที่สองของ 400 คือ 20 และ -20
การหารากที่สองโดยการประมาณ การเปิดตารางและการใช้เครื่องคำนวณ
เราเคยทราบมาแล้วว่า ในการหารากที่สองของจำนวนเต็มบวก เมื่อรากที่สองของจำนวนเต็มบวกนั้น ไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่ได้จะเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่เพื่อความสะดวกในการนำไปใช้ จึงต้องหาค่าประมาณของจำนวนอตรรกยะนั้น
ในกรณีที่จำนวนที่ต้องการหารากที่สองใกล้เคียงกับจำนวนที่สามารถหารากที่สองได้โดยง่าย ก็จะประมาณรากที่สองของจำนวนนั้นด้วยรากที่สองของจำนวนที่ใกล้เคียงนั้น เช่น
15 ใกล้เคียงกับ 16 และรากที่สองของ 16 = 4 ดังนั้นรากที่สองของ 15 ประมาณ 4
การประมาณข้างต้น เป็นการประมาณหารากที่สองที่เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยจำนวนเต็ม
การหารากที่สองโดยการเปิดตาราง ทำได้โดยการดูตาราง แม้จะทำได้ง่าย แต่ก็ยังมีข้อจำกัดที่ยังไม่สามารถใช้ในการหารากที่สองของจำนวนจริงบวกได้ทุกจำนวน และไม่สามารถหาเป็นทศนิยมหลายตำแหน่งได้ตามต้องการ วิธีการหารากที่สองที่สามารถใช้ได้กับทุกจำนวนจริงบวกและสามารถหาเป็นทศนิยมได้หลายตำแหน่งและสะดวกกว่าการเปิดตาราง คือ การใช้เครื่องคำนวณหรือเครื่องคิดเลข
